TP : implanter la fonction exponentielle (1/5)

Imaginez que vous développez la nouvelle librairie de fonctions mathématiques de Python. Au départ, les seules opérations auxquelles vous avez le droit sont les opérations arithmétiques usuelles telles que + * / %. Notre but aujourd’hui est d’écrire la fonction qui calcule \(e^x\).

Pour cela, on utilise la définition de \(e^x\) en tant que série (somme infinie) :

\[e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\]

On remarque que l’on a besoin en particulier de calculer \(x^n\) ainsi que \(n!\). Ce sera l’objet de la première partie. Dans la deuxième partie, on calculera une approximation de la fonction exponentielle en la tronquant à un nombre fixé de termes; par exemple : \(e^x \simeq 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\)

La précision d’une telle approximation dépend beaucoup de la valeur de \(x\). Dans la partie 4 on utilisera une méthode adaptative : on fixera cette fois la précision relative souhaitée et on calculera autant de termes que nécessaire pour atteindre cette précision. Pour cela on aura préalablement défini – et implanté ! – dans la partie 3 ce que l’on entend par précision relative.

Partie 1 : fonctions puissance et factorielle

Le but de cette partie est d’écrire les fonctions factorielle et puissance et de vérifier que l’on obtient bien les résultats attendus. Complétez la fonction factorielle ci-dessous puis vérifiez les résultats des cellules suivantes :

Astuce

Indication

Utilisez une boucle for avec un compteur et un accumulateur: initialisez l’accumulateur à \(1.0\), puis comptez de \(1\) à \(10\) en multipliant à chaque fois l’accumulateur par la valeur du compteur.

Rappel : si vous le souhaitez, vous pouvez utiliser le raccourci r *= i pour r = r * i.

À faire

• Expliquer que l’on veut le résultat en float et pourquoi (voir info111).

• Tester que le résultat est du bon type.

• Choisir et homogénéiser la syntaxe pour les docstrings.

def factorielle(n):
    """ Factorielle
      @param n un entier positif ou nul
      @return la valeur n! en tant que double
    """
    ### BEGIN SOLUTION
    r = 1.0
    for i in range(1, n+1):
        r *= i    # Rappel: c'est équivalent à r = r * i
    return r
    ### END SOLUTION

factorielle(5)

120.0

assert( factorielle(0) == 1   )   # Par convention mathématique
assert( factorielle(3) == 6   )
assert( factorielle(4) == 24  )
assert( factorielle(5) == 120 )
### BEGIN HIDDEN TESTS
assert( factorielle(8) == 40320)
### END HIDDEN TESTS

Vérifiez l’ordre de grandeur du calcul suivant. Si la valeur est aberrante, vérifiez l’utilisation du type double à toutes les étapes du calcul.

factorielle(100)

9.33262154439441e+157

Complétez la fonction puissance ci-dessous, puis vérifiez les résultats des cellules suivantes :

def puissance( x, n):
    """ Puissance
      @param x un nombre de type double
      @param n un entier positif ou nul
      @return le nombre x^n de type double
    """
    ### BEGIN SOLUTION
    r = 1
    for i in range(n):
        r *= x
    return r
    ### END SOLUTION

puissance(2, 4)

16

assert( puissance(1,  10) == 1     )
assert( puissance(2,   5) == 32    )
assert( puissance(1.5, 3) == 3.375 )

Ajoutez des tests (toujours avec assert) pour vérifier les cas limites : vérifiez (pour une valeur de \(x\) de votre choix) que \(x^0\) vaut \(1\), que \(0^r\) vaut \(0\) pour \(r\) non nul, et que \(0^0\) vaut \(1\) :

### BEGIN SOLUTION
assert( puissance(3, 0) == 1 )
assert( puissance(0, 3) == 0 )
assert( puissance(0, 0) == 1 )
### END SOLUTION

Bilan de la partie 1

Vous avez maintenant les prérequis pour implanter la fonction exponentielle. Vous pouvez maintenant passer à la partie 2.